2020年伊春大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)統(tǒng)考科目為數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)。

數(shù)學(xué)分析考試大綱

(1)應(yīng)用型專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(專升本)，

信息與計(jì)算科學(xué)(學(xué)院)

(2)適用教材:《華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析》(上冊、下冊)

一、函數(shù)、極限和連續(xù)性

1.正確理解確定邊界的定義和原則。

2.掌握基本初等函數(shù)及其特征。

3.理解數(shù)列極限的定義，掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。

4.了解單調(diào)有界理論和柯西收斂準(zhǔn)則。

5.了解各種情況下函數(shù)極限的定義，掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。

6.正確使用兩個(gè)重要的限制。

7.掌握無窮小量和無窮小量的比較及其順序。

8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念，正確分類不連續(xù)性。

9.適當(dāng)利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)。

10、理解實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理。

二、導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

1、正確把握導(dǎo)數(shù)和微分的定義和幾何意義。

2.會(huì)用各種導(dǎo)數(shù)規(guī)則和微分規(guī)則來求導(dǎo)數(shù)和微分。

3.將得到方程確定的隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)。

4.理解和掌握微積分的三個(gè)中值定理。

5.正確運(yùn)用洛必達(dá)法則尋找各種不定式的極限。

6.掌握泰勒公式和馬克勞林公式，找到一些初等函數(shù)的展開式。

7.利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值、凸性、拐點(diǎn)等幾何特征。

三、不定積分、定積分及其應(yīng)用

1.理解原函數(shù)和不定積分的概念，牢記基本積分公式。

2.掌握轉(zhuǎn)換積分法和分部積分。

3.掌握有理函數(shù)的積分方法，三角函數(shù)的有理表達(dá)式，以及一些無理數(shù)函數(shù)。

4.理解定積分的概念及其幾何意義。

5.掌握定積分的性質(zhì)和微積分的基本定理。

6.掌握定積分的部分積法和代換積法。

7.了解反常積分的概念，掌握一些收斂判別方法。

8.用積分計(jì)算平面圖形和旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

9、可以計(jì)算出三維體積的已知截面積和曲線的弧長。

第四，級數(shù)理論

1.掌握級數(shù)斂散性的概念，理解級數(shù)斂散性的柯西判據(jù)。

2.掌握正項(xiàng)級數(shù)斂散性的各種判別方法。

3.了解絕對收斂、條件收斂及其關(guān)系，了解一般項(xiàng)級數(shù)的判別方法(萊布尼茨法、阿貝爾法、狄利克雷法)。

4.理解函數(shù)級數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的概念，掌握相應(yīng)的判別方法。

5.正確理解一致收斂函數(shù)序列和一致收斂函數(shù)項(xiàng)的級數(shù)性質(zhì)。

6.掌握冪級數(shù)收斂、絕對收斂和條件收斂的概念，正確計(jì)算冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。

7.逐項(xiàng)掌握冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分，能夠求出冪級數(shù)的和函數(shù)。

8.掌握泰勒定理，將初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。

9.了解傅立葉級數(shù)的概念和傅立葉級數(shù)的收斂定理。

10.掌握2π周期或2L周期函數(shù)的傅里葉展開和奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

5.多元函數(shù)的極限、連續(xù)性和微分學(xué)

1、正確理解二元函數(shù)的極限、重復(fù)極限及其關(guān)系。

2.理解二元函數(shù)的連續(xù)定義。

3.掌握偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，理解可微性和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握可微條件。

4.掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t和復(fù)合函數(shù)全微分的方法。

5.掌握并計(jì)算方向?qū)?shù)和梯度。

6.能夠正確計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)，理解泰勒定理，正確計(jì)算二元函數(shù)的極值。

7.理解隱函數(shù)的概念，掌握隱函數(shù)的存在唯一性定理，學(xué)會(huì)計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

8.掌握隱函數(shù)群定理和反函數(shù)群定理，學(xué)會(huì)計(jì)算隱函數(shù)群的導(dǎo)數(shù)。

9.正確計(jì)算平面曲線的切線和法線方程，曲線在空之間的切線和法線方程，曲面的切面和法線方程。

10、掌握拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行條件桿種植。

六、多元函數(shù)積分學(xué)

1.理解二重積分的概念、幾何意義、可積條件和性質(zhì)。

2.二重積分正確轉(zhuǎn)化為重復(fù)積分，用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分。

3.了解參數(shù)化積分的概念，了解參數(shù)化積分的積分方法和求導(dǎo)方法。

4.掌握三重積分的概念，正確計(jì)算三重積分。

5.利用多重積分可以計(jì)算出曲面的面積和物體的重心。

6.了解二重積分的可積性和二重積分的變量代換定理。

7.理解帶參數(shù)的異常積分一致收斂的概念和判據(jù)，掌握帶參數(shù)的異常積分的連續(xù)性、可微性和可積性。

8.掌握靠前類曲線積分和靠前類曲面積分的概念和計(jì)算。

9、掌握第二類曲線積分和第二類曲面積分的概念和計(jì)算。

10.掌握格林公式，理解曲線積分與路徑的無關(guān)性。

11.掌握高斯公式和斯托克斯公式，理解其含義。

高等代數(shù)考試大綱

(1)應(yīng)用型專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(專升本)，

信息與計(jì)算科學(xué)(學(xué)院)

(2)適用教材:北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等代數(shù)》

多項(xiàng)的

1.理解數(shù)域的概念；掌握連續(xù)加號σ的應(yīng)用。

2.了解和掌握一元多項(xiàng)式的定義、運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì)，多項(xiàng)式整數(shù)除法的概念和性質(zhì)，多項(xiàng)式的最大公因數(shù)和互質(zhì)、余數(shù)除法和扭數(shù)除法、相位等概念。

3.理解和掌握因式分解與數(shù)域的關(guān)系，不可約多項(xiàng)式、多重因子、多項(xiàng)式函數(shù)的概念，因式分解與唯一性定理，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理與標(biāo)準(zhǔn)因式分解公式，有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約性的判定(艾森斯坦判別法)。

第二章決定因素

1.理解排列、逆序、奇偶排列的概念；掌握交換與安排的關(guān)系。

2.理解和掌握N級行列式的定義和基本性質(zhì)，矩陣的概念和矩陣的初等變換；巧用基本性質(zhì)計(jì)算n類行列式。

3.了解和掌握行列式按行(列)展開，余因子和代數(shù)余因子的概念，范德蒙行列式，克拉姆法則及其應(yīng)用。

第三章線性方程

1、掌握線性方程組的消元方法

2.理解和掌握N維向量的定義，基本運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)及其判斷，向量組的極大線性無關(guān)組，秩及其等價(jià)關(guān)系，矩陣的秩及其充要條件。

3.掌握有解線性方程組的判別式定理；齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)和基本解系；非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)。

矩陣

1、掌握矩陣的概念、運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律，幾種特殊矩陣(對角矩陣、對稱(反對稱)矩陣、數(shù)量矩陣等。)，矩陣乘積的行列式和秩。

2.理解和掌握可逆矩陣、伴隨矩陣的定義和簡單性質(zhì)以及求逆矩陣的方法。

3.理解和掌握初等矩陣的定義，矩陣的等價(jià)性，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，初等變換中求逆矩陣的方法。

方形

1.掌握二次型的矩陣和秩，二次型與對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系，二次型的等價(jià)性，矩陣的收縮。

2.理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)型的定義，二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型的匹配法和合同變換法，復(fù)系數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)系數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，慣性定理。

3.理解和掌握正定二次型(正定矩陣)的概念和實(shí)二次型(實(shí)對稱矩陣)正定的充要條件；掌握負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定二次型(矩陣)的概念。

線性空

1.理解和掌握線性空的定義和簡單性質(zhì)，維數(shù)、基和坐標(biāo)、基變換和坐標(biāo)變換、轉(zhuǎn)移矩陣的概念。

2.理解和掌握線性子空的定義和判定，子空之間的擴(kuò)張基定理、交和運(yùn)算及其性質(zhì)，維數(shù)公式，子空之間的直和以及充要條件。

3.掌握線性空之間同構(gòu)的定義和充要條件。

線性轉(zhuǎn)換

1.理解和掌握線性變換的定義、運(yùn)算和運(yùn)算性質(zhì)、線性變換矩陣、坐標(biāo)變換公式、不同基下的線性變換矩陣、矩陣的相似關(guān)系和轉(zhuǎn)移矩陣的概念。

2.理解和掌握特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的定義，特征值和特征向量的求解，相似矩陣的定義和性質(zhì)。

3.掌握屬于不同特征值的特征向量之間的關(guān)系，特征向量空之間的維數(shù)與特征值的重?cái)?shù)之間的關(guān)系，矩陣對角化的條件。

4.理解并掌握不變量空的定義，不變量空與矩陣的可對角化關(guān)系，線性變換的值域與核的關(guān)系，線性變換的秩與零度的關(guān)系。

歐幾里得空

1.掌握歐氏空的定義和簡單性質(zhì)，柯西-巴涅柯夫斯基不等式，向量長度、角度、距離和度量矩陣的概念和性質(zhì)，歐氏空之間的同構(gòu)。

2.理解和掌握向量正交基的概念、正交向量組的性質(zhì)、施密特正交化方法、正交矩陣的概念和簡單性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正交基的轉(zhuǎn)移矩陣與正交矩陣的關(guān)系。

3.了解和掌握正交變換的定義和基本性質(zhì)，正交變換的等價(jià)命題，正交變換的類型，sub 空之間正交性的概念，實(shí)對稱矩陣特征值的性質(zhì)，正交代換將二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算方法。

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