一般要求

考生應按照本大綱的要求，了解或理解函數與極限、一元函數的微分學、一元函數的積分學、向量代數與空之間的解析幾何、多元函數的微分學、高等數學中的無窮級數等基本概念和理論。學習、掌握或掌握以上各部分的基本方法。要注意知識各部分的結構和知識的內在聯系；應具備一定的抽象思維、邏輯推理、計算和想象力介于空之間的能力；能夠運用基本概念、基本理論和基本方法進行正確推理和準確計算；能夠綜合運用知識提出問題，分析問題，解決簡單的實際問題。本大綱要求由低到高，概念和理論分為“理解”和“認識”兩個層次；方法和操作分為“知道”、“掌握”、“掌握”三個層次。

一、函數、極限和連續(xù)性

(a)職能

1.知識范圍

(1)函數的概念:函數的定義、函數的表示、分段函數；

(2)函數的簡單性質:單調性、宇稱性、有界性、周期性；

(3)反函數:反函數的定義和形象；

(4)函數的四次運算和復合運算；

(5)基本初等函數:冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數；

(6)初等函數。

2.要求

(1)理解函數的概念，找到函數的定義域、表達式、函數值、值域，找到分段函數的定義域、函數值、值域，做出簡單的分段函數圖像；

(2)理解和掌握函數的單調性、宇稱性、有界性和周期性，會判斷給定函數的范疇；

(3)了解函數y=f(x)與其反函數y=f-1(x)的關系(定義域、值域、鏡像)，求單調函數的反函數；

(4)理解和掌握函數的四次運算和復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程；

(5)掌握基本初等函數的簡單性質和圖像；

(6)理解初等函數的概念；

(7)將建立簡單實際問題的函數關系。

(2)限制

1.知識范圍

(1)數列極限的概念:數列和數列極限的定義；

(2)數列極限的性質:唯一性、有界性、保號性、不等式、四個運算定理、pinching定理、單調有界定理、數列極限存在定理、柯西收斂準則。

(3)函數極限的概念:函數極限在一點的定義，左右極限及其與極限的關系，X趨于無窮時的函數極限(x→∞，x→+∞，x→-∞)，函數極限的幾何意義；

(4)函數極限定理:唯一性定理、單調有界定理、pinching定理、四個運算定理、復合函數極限定理；

(5)無窮小量和無窮小量:無窮小量和無窮小量的定義、關系和性質；兩個無窮小階的比較:

(6)兩個重要的極限。

2.要求

(1)理解極限的概念，根據極限的概念分析函數的變化趨勢，找出函數在某一點的左極限和右極限，理解函數在某一點存在極限的充要條件；

(2)了解極限的相關性質，掌握極限的四種算法；

(3)理解無窮小量和無窮小量的概念，掌握無窮小量的性質和無窮小量與無窮小量的關系，比較無窮小量的階次(高階、低階、同階、等價)，掌握用等價無窮小量代換求極限的方法；

(4)掌握用兩個重要極限求極限的方法。

(3)連續(xù)性

1.知識范圍

(1)函數連續(xù)性的概念:函數在一點連續(xù)的充要條件，函數的間斷點及其分類；

(2)函數在一點上的連續(xù)性:連續(xù)函數的四次運算，復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性；

(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質:有界性定理、最大最小值定理、中間值定理(包括零點定理)；

(4)初等函數的連續(xù)性。

2.要求

(1)了解函數在一點上的連續(xù)性和不連續(xù)性的概念，掌握簡單函數(包括分段函數)在一點上的連續(xù)性，了解函數在一點上的連續(xù)性與極限存在的關系；

(2)會發(fā)現函數的不連續(xù)性，確定其類型；

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，利用中值定理證明等式或不等式；

(4)理解初等函數在其定義區(qū)間內是連續(xù)的，會利用函數的連續(xù)性來求極限。

二、一元函數微分學

(a)導數和微分

1.知識范圍

(1)導數的概念:導數的定義，左導數和右導數的定義，導數的幾何意義，可導與連續(xù)的關系；

(2)導數規(guī)則和導數基本公式:導數的四種運算、反函數的導數和導數的基本公式；

(3)求導法:復合函數求導法、隱函數求導法、對數求導法、參數方程確定的函數求導法、分段函數求導法；

(4)高階導數的概念:高階導數的定義和計算；

(5)微分:微分的定義，微分與導數的關系，微分規(guī)律，一階微分形式的不變性。

2.要求

(1)理解導數的概念及其幾何意義，理解可導性與連續(xù)性的關系，通過定義找到函數在某一點的導數；

(2)將求曲線上某一點的切線方程和法向方程；

(3)掌握導數的基本公式，四大算術規(guī)則，復合函數的求導方法，你會發(fā)現反函數的求導；

(4)掌握隱函數求導法、對數求導法、參數方程確定的函數求導法，會發(fā)現分段函數的求導；

(5)理解高階導數的概念會發(fā)現簡單函數的N階導數；

(6)了解函數的微分概念，掌握微分規(guī)律，了解可微性與可微性的關系，求函數的一階微分。

(2)中值定理和導數的應用

1.知識范圍

(1)中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

(2)洛必達定律；

(3)判斷函數單調性的方法；

(4)函數極值與極值點、最大值與最小值；

(5)曲線的凹凸特征和拐點；

(6)曲線漸近線:水平漸近線、斜漸近線、垂直漸近線。

2.要求

(1)理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其幾何意義，用羅爾中值定理證明方程根的存在性，用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明簡單不等式或方程；

(2)掌握L 'Bida定律，可以找到“0/0”、“∞/∞”、“0?”、“∞-∞”、“1?”、“0?”、“00”的待定公式的極限；

(3)掌握用導數判斷函數單調性的方法，求出函數單調遞增遞減區(qū)間，利用函數單調性證明簡單不等式；

(4)了解函數極值的概念，掌握求函數極值和最大(最小)值的方法，解決簡單的應用問題；

(5)會判斷曲線的凹凸性，找到曲線的拐點坐標，根據函數的凹凸性證明不等式；

(6)會找到曲線的水平漸近線、斜漸近線和垂直漸近線；

(7)可以制作簡單功能的圖形。

3.一元函數的積分學

(a)不定積分

1.知識范圍

(1)不定積分的概念:原函數和不定積分的定義，原函數的存在定理和不定積分的性質；

(2)基本積分公式；

(3)轉換積分法:靠前種代換法(微分法)，第二種代換法；

(4)部分集成。

2.要求

(1)理解原函數與不定積分的概念和關系，掌握不定積分的性質，理解原函數的存在定理；

(2)掌握不定積分的基本公式；

(3)掌握不定積分的靠前代換法和第二代換法；

(4)掌握不定積分的分部積分；

(5)可以得到簡單有理函數的不定積分。

(2)定積分

1.知識范圍

(1)定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義；

(2)定積分的性質；

(3)定積分的計算:變上限定積分、牛頓-萊布尼茨公式、轉換積分法、分部積分；

(4)無限區(qū)間的廣義積分；

(5)定積分的應用:平面圖形面積、旋轉體體積、沿直線運動時變力做功。

2.要求

(1)理解定積分的概念和幾何意義；

(2)掌握定積分的基本性質；

(3)理解變上限定積分是變上限的函數，掌握變上限定積分導數的計算方法；

(4)掌握牛頓-萊布尼茨公式；

(5)掌握轉換積分法和定積分的分部積分；

(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法；

(7)掌握直角坐標系中定積分計算的平面圖形面積，平面圖形繞坐標軸旋轉產生的旋轉體體積，以及定積分計算的沿直線運動的時變力所做的功。

4.向量代數與空之間的解析幾何

(a)向量代數

1.知識范圍

(1)向量的概念:向量定義、向量模、單位向量、坐標軸上的向量投影、向量坐標表示、向量方向余弦；

(2)向量的線性運算:向量加法、向量減法、向量乘法；

(3)向量數量積、兩向量夾角、兩向量垂直度的充要條件；

(4)兩個向量叉積和兩個向量平行的充要條件。

2.要求

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標表示，求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影；

(2)掌握向量的線性運算以及向量數量積和叉積的計算方法；

(3)掌握兩個向量平行垂直的條件。

(2)平面和直線

1.知識范圍

(1)常見的平面方程:點法語方程、截距方程、三點方程、一般方程；

(2)兩平面平行的條件，兩平面垂直的條件，點到平面的距離；

(3)空之間的線性方程:標準方程(也稱對稱方程或點方程)、一般方程、參數方程；

(4)兩條直線平行、兩條直線垂直、直線在一個平面上的條件。

2.要求

(1)會求平面的點法語方程、截距方程、三點方程、一般方程，會判斷兩個平面(垂直和平行)的位置關系；

(2)會找到點到平面的距離；

(3)了解一條直線的一般方程，求出該直線的標準方程和參數方程，判斷兩條直線(平行、相交、出平面)的位置關系；

(4)將確定直線與平面(垂直、平行、平面上的直線)的關系。

(3)簡單二次曲面

1.知識范圍:球面、母線平行于坐標軸的圓柱面、旋轉拋物面、錐面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、橢球面。

2.要求

了解球面、母線平行于坐標軸的圓柱面、旋轉拋物面、圓錐面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、橢球面的方程和圖形。

5.多元函數的微分

(一)多元函數微積分

1.知識范圍

(1)多元函數:多元函數的定義，二元函數的定義域，二元函數的幾何意義，二元函數的極限和連續(xù)性的概念；

(2)偏導數和全微分:偏導數、全微分和二階偏導數；

(3)復合函數的偏導數和全導數；

(4)隱函數的偏導數；

(5)二元函數的無條件極值和條件極值。

2.要求

(1)了解多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極值和連續(xù)性的概念，找到二元函數的定義域；

(2)理解偏導數的概念，理解全微分的概念，知道全微分存在的充要條件；

(3)掌握二元函數一階和二階偏導數的計算方法；

(4)掌握了復合函數的一階偏導數的解，就會找到全導數；

(5)會求二元函數的全微分；

(6)掌握由方程F(x，y，z)=0確定的隱函數z=z(x，y)的一階偏導數的計算方法；

(7)會求二元函數的無條件極值和條件極值。

5.無窮級數

(一)系列號

1.知識范圍

(1)數列:數列的概念，斂散性數列的基本性質，數列收斂的必要條件；

(2)正項級數斂散性判別方法:比較判別法、比率判別法、根值判別法；

(3)一般項級數:交錯級數、絕對收斂、條件收斂。

2.要求

(1)了解級數斂散性的概念，掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質；

(2)掌握正項級數的比較判別法、比值判別法、根判別法；

(3)掌握幾何級數、調和級數、P級數的斂散性；

(4)理解級數的絕對收斂和條件收斂的概念，我們就用Lebniz判別法來判斷級數的斂散性。

(2)冪級數

(1)冪級數概念:收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；

(2)冪級數的基本性質；

(3)將簡單初等函數展開成冪級數；

(4)冪級數的和函數。

2.要求

(1)了解冪級數的相關概念；

(2)逐項了解冪級數在其收斂區(qū)間(和、差、導、積)的基本性質，求冪級數的和函數；

(3)掌握求冪級數收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域的方法；

(4)利用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，l/(1-x)的麥克勞克林級數，將一些簡單的初等函數展開為x或x-x0的冪級數。

試卷總分:150分

考試時間:150分鐘

試卷內容比例

函數、極限、連續(xù)性約20%，一元函數的微分學約25%，一元函數的積分學約25%，向量代數與空之間的解析幾何約10%，多元函數的微分學約10%，無窮級數約10%。

試題比例

選擇題15%左右，空題25%左右，計算題40%左右，綜合題20%左右。

試題難度比

容易題40%左右，中等難度題50%左右，難題10%左右。

主要參考書

《高等數學》第七版靠前卷、第二卷，同濟大學主編，高等教育出版社。

《數學分析》第五版，上冊、下冊，華東師范大學，高等教育出版社。

部分內容來源于網絡轉載、學生投稿，如有侵權或對本站有任何意見、建議或者投訴，請聯系郵箱（1296178999@qq.com）反饋。 未經本站授權，不得轉載、摘編、復制或者建立鏡像， 如有違反，本站將追究法律責任！